Medidas de Tendencia Central

La moda

La moda es una medida de tendencia central muy importante en el campo de la estadística ya que indica, en un conjunto en un conjunto de datos estadísticos, aquello que se presentan con más frecuencia

Se suelen representar así:  M₀

Veamos un ejemplo para su mayor comprensión.

Supongamos que los siguientes números representan las calificaciones finales del curso de matemáticas de un grupo de alumnos del ciclo diversificado a distancia.

2.2.3.3.4.4.5.5.6.6.7.7.8.8.8.8.8.8.8.8.9.10

De este conjunto de datos se infiere que las notas obtenidas  por un mayor número de alumnos es 8, esto quiere decir que la moda es 8 (M₀ =8) ya que el numero que mas se repite es 8.

Luego entonces  la mediana es la suma de todos los valores obtenidos en la muestra divididos entre el número de muestras totales que haya.

Características de la mediana:

1-                1.    Es fácil de calcular

2. No se afecta por los valores extremos

3.La mediana no necesariamente tiene que pertenecer la conjunto de datos como sucede con la moda

4. Antes e proceder a calcular la mediana, los datos deben ser ordenados de menor a mayor o viceversa.

5. El cálculo de la mediana depende del número (par o impar)de elementos del conjunto de datos.

La media aritmética

La media mejor conocida como media aritmética o promedio es quizás de las medidas estadísticas de mayor uso. El cálculo y empleo de esta medida es simple. Sin embargo esto no excluye el hecho de que su cálculo sea muy laborioso (no difícil) sobre todo en aquellos casos en que el número de elementos del conjunto de datos sea muy elevado.

Bibliografia: Corrales Mario, Obando Alvaro; Matemática Estadística.

Medidas de Dispersion

Varianza:

El análisis de varianza es la técnica estadística que nos posibilita el análisis de los datos en el contexto de las investigaciones de corte experimental, en sentido amplio, lo que da cabida a estudios de corte cuasiexperimental. En todos los casos, nos permitirá el adecuado contraste de hipótesis y la estimación de los correspondientes parámetros.

varianza:

Bibliografía: Tejedor Francisco; Análisis de varianza

Desviación Estándar:

La desviación estándar nos indica cuanto se alejan en promedio las observaciones de la media aritmética del conjunto. Es la medida de dispersión mas usada en estadísticas tanto en aspectos descriptivos como analíticos. También tiene mucha importancia su cuadrado, que recibe el nombre de variancia.

Desviacion estándar:

Bibliografía:  Gomez Barrante Miguel; elementos de estadística descriptiva; ed EUNED

En conclusión, la varianza y la desviación estándar son dos medidas de la variación muy utilizadas para tomar en cuenta como se distribuyen los datos. Estos estadísticas miden la dispersión promedio alrededor de la media, es decir, que tanto varían los valores más grandes que están por encima de ella y como se distribuyen los valores menores que están por debajo de ella

Kolmogorov-Smirnov

Existen diferentes formas de medir las discrepancias entre funciones de distribución (Darling 1957; Lindgren 1958). El test de Smirnov-Kolmogorov está basado en el  estadístico D definido de la siguiente forma:

Dmax(x) = Max | FX (x) - Sn (x) |

Donde FX y Sn son las funciones de distribución de las muestras, smirnov demuestra que para muestras de tamaño suficientemente elevado (n>80) la probabilidad de que se verifique la hipótesis nula PH₀ , es decir, que los histogramas a realizar pertenezcan a la misma población.

Así, kolmogorov  establece así la verdad o falsedad de que dos o muestras provengan de la misma población.

bilbliografia: informacion tecmologica, vol 9 num 5; editor Valderrama Jose

Tabla de valores:

pasos para la realizacion de la distribucion de kolmogorov-smirnov:


1-sidentifica la muestra de la población y se plantean las hipotesis de  esa muestra, es decir, se plantean: Ho, hipótesis nula. y Ha, hipótesis alternativa



2- se extraen de la muestra las variables necesarias para realizar la prueba ( varia dependiendo al tipo de distribucion),  entre las cuales tenemos:media, desviación, rango (limsup – liminf), numero de datos que se tomaran de la muestra, numero de intervalos (raíz del numero de datos) y tamaño del intervalo (rango/ numero de intervalos).

3- se calcula la frecuencia observada de cada uno de los intervalos, al final la suma de las frecuencias observadas debe ser igual a 100.

4- calculamos la frecuencia observada relativa con la formula: frecuencia observada de cada intervalo/la sumatoria total de la frecuencia observada.

5- luego calgulamos la fora(frecuencia observada relativa acumulada) y fera (frecuencia esperada relativa acumulada), esta ultima varia de acuerdo al tipo de histograma que nos halla dado.

6- aplicamos la formula

D = (FOR Acum - FER Acum) el cual es el estadistico de prueba; donde la D que mayor valor de va a ser la mayor discrepancia o estimador de kolmogorov.

7- Se hallan también los grados de libertad de acuerdo a la distribución estadística utilizada.

8- se busca en la tabla de acuerdo al tamaño de la muestra y un  determinado valor de riesgo alfa (α),

9-  se busca en la tabla de smirnov colmogorov, si el estimador de la prueba (D) es menor que el valor que se encontró en la tabla entonces se acepta la hipótesis Ho (hipótesis nula) planteada antes de estudiar la muestra, de lo contrario se acepta la hipótesis alternativa Ha.


A continuacion se encuentra un ejercicio resuelto:


https://spreadsheets.google.com/ccc?hl=de&key=tDODpYJZ_4Ygity_qhOQjJQ&hl=de#gid=0

Chi Cuadrada

Una variable Chi cuadrado se define como la suma de n variables normales estandarizadas elevadas al cuadrado.

CARACTERISTICAS

• La distribución es asimétrica positiva.
• A medida que aumenta el tamaño de la muestra la curva es menos asimétrica, aproximándose a una curva normal.
• Para cada tamaño muestral, se tendrá una distribución cuadrada diferente.
• El parámetro que caracteriza a una distribución cuadrada son sus grados de libertad (n-1), originado una distribución para cada grado de libertad.

La siguiente formula podemos identificar la sumatoria de errores dadas en la distribución :

Procedimiento:

·         Arreglar las observaciones en una tabla de contingencias.

·         Determinar el valor teórico de las frecuencias para cada casilla.

·         Calcular las diferencias entre los valores observados con respecto a los teóricos de cada casilla.

·         Elevar al cuadrado las diferencias y dividirlas entre el valor teórico de la casilla correspondiente.

·         Obtener la sumatoria de los valores anteriores, que es el estadístico X2.

·         Calcular los grados de libertad (gl): gl = (Intervalos -1).

·         El valor de X2 se compara con los valores críticos de ji cuadrada de la tabla de valores de X2 y de acuerdo con los grados de libertad, y se determina la probabilidad.

·         Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.


A continuacion encontraras un ejercicio resuelto:
https://spreadsheets.google.com/ccc?hl=de&key=tcVAVTguIkPtCo-J9pR6brw&hl=de#gid=0

TABLA DE VALORES CHI CUADRADA

Probabilidad de un valor superior - Alfa (α)
Grados libertad	0,1	0,05	0,025	0,01	0,005
1	2,71	3,84	5,02	6,63	7,88
2	4,61	5,99	7,38	9,21	10,6
3	6,25	7,81	9,35	11,34	12,84
4	7,78	9,49	11,14	13,28	14,86
5	9,24	11,07	12,83	15,09	16,75
6	10,64	12,59	14,45	16,81	18,55
7	12,02	14,07	16,01	18,48	20,28
8	13,36	15,51	17,53	20,09	21,95
9	14,68	16,92	19,02	21,67	23,59
10	15,99	18,31	20,48	23,21	25,19
11	17,28	19,68	21,92	24,73	26,76
12	18,55	21,03	23,34	26,22	28,3
13	19,81	22,36	24,74	27,69	29,82
14	21,06	23,68	26,12	29,14	31,32
15	22,31	25	27,49	30,58	32,8
16	23,54	26,3	28,85	32	34,27
17	24,77	27,59	30,19	33,41	35,72
18	25,99	28,87	31,53	34,81	37,16
19	27,2	30,14	32,85	36,19	38,58
20	28,41	31,41	34,17	37,57	40
21	29,62	32,67	35,48	38,93	41,4
22	30,81	33,92	36,78	40,29	42,8
23	32,01	35,17	38,08	41,64	44,18
24	33,2	36,42	39,36	42,98	45,56
25	34,38	37,65	40,65	44,31	46,93
26	35,56	38,89	41,92	45,64	48,29
27	36,74	40,11	43,19	46,96	49,65
28	37,92	41,34	44,46	48,28	50,99
29	39,09	42,56	45,72	49,59	52,34
30	40,26	43,77	46,98	50,89	53,67
40	51,81	55,76	59,34	63,69	66,77
50	63,17	67,5	71,42	76,15	79,49
60	74,4	79,08	83,3	88,38	91,95
70	85,53	90,53	95,02	100,43	104,21
80	96,58	101,88	106,63	112,33	116,32
90	107,57	113,15	118,14	124,12	128,3
100	118,5	124,34	129,56	135,81	140,17