Métodos de Generación de Variables Aleatorias

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

Utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución que se va a simular. Puesto que F(x) está definida en el intervalo (0;1) , se puede generar un numero aleatorios uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad F(x), se determina al resolver la siguiente ecuación:

F(x)= R ó x = F^-1(R)

La dificultad principal de este método descansa en el hecho de que en algunas ocasiones es difícil encontrar la transformada inversa. Sin embargo, si esta función ya ha sido establecida, generando número aleatorios uniformes se podrá obtener valores de la variable aleatoria que siga la distribución de probabilidad deseada.

MÉTODO DEL RECHAZO

Esta técnica se puede usar si existe otra función de densidad  g(x) tal que  cg(x)  supera la función de densidad f(x), es decir, cg(x) > f(x) para todos los valores de x. Si esta función existe, entonces se pueden  aplicar los siguientes pasos:

1. Genere x con la densidad g(x).

2. Genere y uniforme en [0, cg(x)].

3. Si y ≤ f (x), devuelva x y retorne. De lo contrario repita desde el paso 1.

El algoritmo permanece rechazando las variables x y y hasta que la condición y ≤ f (x) sea satisfecha.

Ejemplo:

Consideremos la función de densidad beta(2,4):

Esta función se muestra en la figura y puede ser limitada por el rectángulo de altura 2,11. Por lo tanto podemos usar  c = 2,11 y  g(x) = 1 para 0  ≤ x ≤ 1. La variables beta (2,4) pueden ser  generadas como sigue:

1. Genere x uniforme en [0, 1].

2. Genere y uniforme en [0, 2,11].

3. Si  y ≤ 20x(1-x)³  , devuelva x y retorne. De lo contrario vuelva al paso 1.

Los pasos 1 y 2 generan un punto (x, y) distribuido uniformemente en el rectángulo en la figura.

Si el punto cae sobre la densidad f (x), entonces el paso 3 rechaza x.

La eficiencia del método depende de que tan bien g(x) limita a f (x). Si hay una brecha muy grande entre cg(x) y   f  (x), entonces un gran número de puntos generados en los pasos 1 y 2 serán rechazados.  Similarmente, si la generación de variables aleatorias con  g(x) es compleja, entonces el método puede ser  ineficiente.

COMPOSICIÓN

Este método se puede usar si la FDA F(x) deseada se puede expresar como una suma ponderada de otras n FDA F₁ (x), ..., F_n (x):

El número de funciones  n puede ser finito o infinito, y las n FDA son compuestas para formar la FDA deseada; de aquí el nombre de la técnica. Esto  también se puede ver como que la FDA deseada es descompuesta en otras n FDA; por esto la técnica a veces es llamada descomposición. La técnica también se puede usar si la función de densidad  f (x) puede ser descompuesta como una suma ponderada de otras n densidades:

En cualquier caso, los pasos a seguir son:

1. Genere un entero aleatorio  I tal que   P(I =  i ) =  pi

Esto puede ser hecho con el método de transformación inversa.

2. Genere x con la i-esima densidad fi  (x) y retorne.

MÉTODO DE CONVOLUCIÓN

Muchas variables aleatorias incluyendo la normal,  binomial,  poisson, gamma, erlang,  etc., se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias. El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria  x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:

x=b₁x₁+ b₂x₂ +…+b_kx_k

En este método se necesita generar k números  aleatorios (u₁,u₂,...,u_k) para generar (x₁,x₂,...x_k) variables aleatorias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolución.

Bibliografía:

·         COSS BU Raúl, SIMULACION: UN ENFOQUE PRÁCTICO, Noriega Editores.

·         HOEGER Herber, http: //webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/hhoeger/simulacion/PARTE6.pdf